Текст урока. Урок 15. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Определение:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

$$\boxed{{\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cdot \cos \phi }}$$

где $\phi =\mathrm{\angle }(\vec{a},\vec{b})$

Обозначения: $\vec{a}\cdot \vec{b}$ (точка между векторами).

Частные случаи:

• Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\phi =0^{\circ }$, $\cos 0=1$): $\vec{a}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }$.

• Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\phi ={180}^{\circ }$, $\cos 180=-1$): $\vec{a}\cdot \vec{b}=-\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }$.

• Если $\vec{a}\perp \vec{b}$ ($\phi ={90}^{\circ }$, $\cos 90=0$): $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$.

• Скалярный квадрат: $\vec{a}\cdot \vec{a}=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$.

Физический смысл: Скалярное произведение появляется в формуле работы силы $A=\vec{F}\cdot \vec{s}$ — работа равна скалярному произведению силы на перемещение.