Текст урока. Урок 15. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Это самый важный результат для практических вычислений.

Теорема (выражение скалярного произведения в координатах)

Если векторы заданы своими координатами $\vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2;z_2)$, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$$\boxed{{\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}}$$

Доказательство (идея)

1. Разложим векторы по базису $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$:

$$\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k},\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}$$

2. Используем дистрибутивность и свойства ортов:

$$\vec{i}\cdot \vec{i}=\mathrm{\mid }\vec{i}{\mathrm{\mid }}^2=1,\vec{j}\cdot \vec{j}=1,\vec{k}\cdot \vec{k}=1$$
$$\vec{i}\cdot \vec{j}=0,\vec{i}\cdot \vec{k}=0,\vec{j}\cdot \vec{k}=0$$

3. После перемножения все «смешанные» слагаемые обнуляются, остаётся:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$