Текст урока. Урок 15. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Прежде чем ввести скалярное произведение, нужно договориться, что мы понимаем под углом между векторами в пространстве.

Определение:
Пусть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены от одной точки $O$. Тогда углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим.

Обозначение: $\mathrm{\angle }(\vec{a},\vec{b})$ или $\phi$.

Свойства угла:

• $0^{\circ }\le \phi \le {180}^{\circ }$ (в пространстве угол между векторами не может быть больше 180°).

• Если векторы сонаправлены, $\phi =0^{\circ }$.

• Если векторы противоположно направлены, $\phi ={180}^{\circ }$.

• Если векторы перпендикулярны, $\phi ={90}^{\circ }$.

Важно: Если хотя бы один из векторов нулевой, угол между ними не определён (или считают, что нулевой вектор перпендикулярен любому — это вопрос соглашения, но формально $\vec{0}\cdot \vec{a}=0$).