Текст учебника. Урок 3. Степенная функция, её свойства и график.

Примеры: $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^4$.

1. Если $n$ — четное ($n=2k$):

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$ (все действительные числа).

   • Четность/нечетность: Функция четная, так как $(-x{)}^{2k}=x^{2k}$. График симметричен относительно оси $OY$.

   • Область значений: $E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$.

   • График: Напоминает параболу $y=x^2$ (для $n=2$), но при $n>2$ ветви прижимаются к оси $OX$ при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ и круче поднимаются вверх при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$.

   • Пример: $y=x^2$, $y=x^4$.

2. Если $n$ — нечетное ($n=2k+1$):

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$.

   • Четность/нечетность: Функция нечетная, так как $(-x{)}^{2k+1}=-x^{2k+1}$. График симметричен относительно начала координат.

   • Область значений: $E(y)=\mathbb{R}$.

   • График: Напоминает кубическую параболу $y=x^3$. Функция возрастает на всей области определения.

   • Пример: $y=x^3$, $y=x^5$.