Алгебра, полный курс для 11 класса

Здесь важно, является ли знаменатель $q$ четным или нечетным.

А. $r=\frac{m}{n}$ — положительное дробное число ($y=x^{\frac{m}{n}}$)

1. $n$ — нечетное (например, $y=x^{\frac{2}{3}}$):

   • Корень нечетной степени существует для любого $x$.

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$.

   • График: Если $m$ четное — функция четная? (Для $y=x^{2\mathrm{/}3}$: $(-x{)}^{2\mathrm{/}3}=\sqrt[3]{(-x{)}^2}=\sqrt[3]{x^2}=x^{2\mathrm{/}3}$, да, четная). Если $m$ нечетное — функция нечетная ( $y=x^{1\mathrm{/}3}$ ).

2. $n$ — четное (например, $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$, $y=x^{\frac{3}{4}}$):

   • Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел.

   • Область определения: $D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$.

   • Свойства: Функция возрастающая. Ни четная, ни нечетная (из-за ОДЗ). График похож на ветвь параболы, "лежащей на боку".

Б. $r=-\frac{m}{n}$ — отрицательное дробное число ($y=x^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$)

Здесь область определения зависит от знаменателя $n$ (как в случае А), но добавляется условие $x\mathrm{\ne }0$, так как функция стоит в знаменателе.

1. $n$ — нечетное ($y=x^{-\frac{2}{3}}$):

   • $D(y)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

2. $n$ — четное ($y=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$):

   • $D(y)=(0;+\mathrm{\infty })$.

Итоговая таблица (обобщение)