Текст учебника. Урок 4. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим классический подход к решению уравнения вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$.

Это уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{ll}g(x)\ge 0& \text{(условие неотрицательности правой части)}\\ f(x)=(g(x){)}^2& \text{(уравнение-следствие после возведения в квадрат)}\end{array}$$

Почему так? Корень четной степени всегда неотрицателен, значит и правая часть должна быть неотрицательной. При выполнении этого условия возведение в квадрат не приведет к появлению посторонних корней.

Пример 3 (решаем вместе):
Решить уравнение $\sqrt{2x+1}=x-1$.

Решение:

1. Составим систему условий (равносильный переход):

   $$\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ 2x+1=(x-1{)}^2\end{array}$$

2. Решаем первое неравенство: $x\ge 1$.

3. Решаем второе уравнение:
   $2x+1=x^2-2x+1$
   $0=x^2-4x$
   $x(x-4)=0$
   $x=0$ или $x=4$.

4. Проверяем условие $x\ge 1$:
   $x=0$ — не подходит (посторонний корень).
   $x=4$ — подходит ($4\ge 1$).
   Ответ: $x=4$.