Текст учебника. Урок 4. Иррациональные уравнения. | Метод замены переменной

SDAVALKA

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Тема урока: Иррациональные уравнения.

Тип урока: Урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.

Цели урока:

Предметные: Сформировать понятие иррационального уравнения, научить определять область допустимых значений, освоить основные методы решения (возведение в степень, замена переменной), понимать причины появления посторонних корней.
Метапредметные: Развивать логическое мышление, умение прогнозировать результат, анализировать и проверять полученные решения.
Личностные: Формировать ответственное отношение к процессу решения, понимание важности проверки в математике.

Планируемые результаты:

Знать: Определение иррационального уравнения, теоремы о равносильности преобразований.
Уметь: Решать иррациональные уравнения методом возведения в степень и методом замены переменной, выполнять проверку корней.

4. Метод замены переменной

Используется для уравнений вида $f (\sqrt[n]{g (x)}) = 0$ , где явно прослеживается повторяющееся выражение.

Пример 4:
Решить уравнение $x^{2} + 3 x - 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 1} = 2$ .

Решение:

Заметим, что выражения $x^{2} + 3 x$ и $x^{2} + 3 x - 1$ похожи. Введем замену. Чтобы удобнее было избавиться от корня, обозначим $t = \sqrt{x^{2} + 3 x - 1}$ . Тогда $t \geq 0$ .
Выразим $x^{2} + 3 x$ через $t$ : $x^{2} + 3 x = t^{2} + 1$ .
Подставим в исходное уравнение:
$(t^{2} + 1) - 2 t = 2$
$t^{2} + 1 - 2 t - 2 = 0$
$t^{2} - 2 t - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = 4 + 4 = 8$ , $\sqrt{D} = 2 \sqrt{2}$
$t = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ .
Учитываем условие $t \geq 0$ :
$t_{1} = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41 > 0$ — подходит.
$t_{2} = 1 - \sqrt{2} \approx - 0.41 < 0$ — не подходит.
Возвращаемся к переменной $x$ :
$\sqrt{x^{2} + 3 x - 1} = 1 + \sqrt{2}$
Так как правая часть положительна, возводим в квадрат без опасений:
$x^{2} + 3 x - 1 = (1 + \sqrt{2})^{2}$
$x^{2} + 3 x - 1 = 1 + 2 \sqrt{2} + 2$
$x^{2} + 3 x - 1 = 3 + 2 \sqrt{2}$
$x^{2} + 3 x - 4 - 2 \sqrt{2} = 0$ .
Замечание: Полученное уравнение имеет громоздкий дискриминант. В данном примере мы акцентируем внимание именно на идее замены. Для экономии времени на уроке можно остановиться на моменте возврата к замене, либо подобрать числа так, чтобы корни были красивыми (например, в уравнении $x^{2} + 2 x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 8} = 0$ ).