Алгебра, полный курс для 11 класса

Метод 1: Приведение к одинаковому основанию

Этот метод заключается в том, чтобы представить обе части уравнения в виде степени с одним и тем же основанием.

Пример 2 (решаем вместе):
Решить уравнение ${27}^x=\frac{1}{81}$.

Решение:

1. Представим все числа как степени числа 3.
   $27=3^3$, значит ${27}^x=(3^3{)}^x=3^{3x}$.
   $\frac{1}{81}={81}^{-1}=(3^4{)}^{-1}=3^{-4}$.

2. Получаем уравнение: $3^{3x}=3^{-4}$.

3. Основания равны (3>1), переходим к равенству показателей:
   $3x=-4$

4. $x=-\frac{4}{3}$.
   Ответ: $-\frac{4}{3}$.

Метод 2: Вынесение общего множителя

Используется, если все степени имеют одно основание, но разные показатели.

Пример 3:
Решить уравнение $2^{x+2}+2^x=20$.

Решение:

1. Преобразуем первое слагаемое: $2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x$.

2. Подставим в уравнение: $4\cdot 2^x+2^x=20$.

3. Вынесем общий множитель $2^x$ за скобку: $2^x(4+1)=20$ => $2^x\cdot 5=20$.

4. Делим обе части на 5: $2^x=4$.

5. Представляем 4 как степень двойки: $2^x=2^2$.

6. Переходим к показателям: $x=2$.
   Ответ: 2.

Метод 3: Замена переменной

Применяется, когда уравнение содержит выражения вида $a^{f(x)}$, $a^{2f(x)}$ и т.д., и позволяет свести его к алгебраическому уравнению.

Пример 4:
Решить уравнение $4^x-3\cdot 2^x-4=0$.

Решение:

1. Заметим, что $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}=(2^x{)}^2$.

2. Сделаем замену: пусть $t=2^x$, где $t>0$ (так как показательная функция принимает только положительные значения).

3. Получим квадратное уравнение: $t^2-3t-4=0$.

4. Решаем его: $D=9+16=25$, корни $t=\frac{3\pm 5}{2}$. $t_1=4$, $t_2=-1$.

5. Учитываем условие $t>0$: $t=-1$ — посторонний корень.

6. Возвращаемся к переменной $x$: $2^x=4$ => $2^x=2^2$ => $x=2$.
   Ответ: 2.