Текст учебника. Урок 6. Показательные уравнения и неравенства.

Решение показательных неравенств основано на свойстве монотонности показательной функции.

Теорема о равносильности для неравенств:

1. Если $a>1$, то неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$ (знак неравенства сохраняется).

2. Если $0<a<1$, то неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)<g(x)$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Почему? Потому что при $a>1$ функция возрастает: большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При $0<a<1$ функция убывает: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 5 (решаем вместе):
Решить неравенство $2^{x-1}\le 16$.

Решение:

1. Представим правую часть как степень двойки: $16=2^4$.

2. Получим: $2^{x-1}\le 2^4$.

3. Основание $2>1$, значит функция возрастает, знак неравенства сохраняем:
   $x-1\le 4$

4. $x\le 5$.
   Ответ: $(-\mathrm{\infty };5]$.

Пример 6:
Решить неравенство ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}$.

Решение:

1. Основание $\frac{1}{3}<1$, значит функция убывает. Поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняем.

2. Получаем: $x<2x-1$.

3. Переносим: $x-2x<-1$ => $-x<-1$ => $x>1$.
   Ответ: $(1;+\mathrm{\infty })$.