Алгебра, полный курс для 11 класса

Рассмотрим основные свойства логарифмов. Все они следуют из определения логарифма и свойств степени. Пусть $a>0,a\mathrm{\ne }1,b>0,c>0$.

1. Логарифм произведения:

   $${\log }_a(b\cdot c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$$

   Доказательство:
   Пусть ${\log }_{a}b=x$, тогда $a^x=b$.
   Пусть ${\log }_{a}c=y$, тогда $a^y=c$.
   Рассмотрим произведение $b\cdot c=a^x\cdot a^y=a^{x+y}$.
   По определению логарифма, показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b\cdot c$, равен $x+y$. То есть ${\log }_a(b\cdot c)=x+y={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$.
   Пример: ${\log }_3(9\cdot 27)={\log }_{3}9+{\log }_{3}27=2+3=5$.

2. Логарифм частного:

   $${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$$

   Доказательство: Аналогично, используя $\frac{b}{c}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$.
   Пример: $\lg \frac{100}{1000}=\lg 100-\lg 1000=2-3=-1$.

3. Логарифм степени:

   $${\log }_a{b}^p=p\cdot {\log }_{a}b$$

   Доказательство:
   Пусть ${\log }_{a}b=x$, тогда $a^x=b$.
   Возведем обе части в степень $p$: $(a^x{)}^p=b^p$, или $a^{x\cdot p}=b^p$.
   По определению логарифма, показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b^p$, равен $x\cdot p$. То есть ${\log }_a{b}^p=p\cdot x=p\cdot {\log }_{a}b$.
   Пример: ${\log }_{2}32={\log }_2(2^5)=5\cdot {\log }_{2}2=5\cdot 1=5$.