Текст учебников. Урок 10. Первообразная. Основное свойство первообразной.

Рассмотрим физическую задачу.
Задача: Точка движется вдоль прямой со скоростью $v(t)=2t$. Найти закон движения $s(t)$, если известно, что в начальный момент времени $t=0$ координата точки $s(0)=1$.

Решение:

1. Мы ищем функцию $s(t)$, такую что $s^{\mathrm{\prime }}(t)=v(t)=2t$.

2. Вспоминаем таблицу производных: производная от $t^2$ равна $2t$. Значит, одна из возможных первообразных — это $F(t)=t^2$.

3. Проверим: $(t^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2t$. Верно. Но $(t^2+1{)}^{\mathrm{\prime }}=2t$, и $(t^2-5{)}^{\mathrm{\prime }}=2t$. Любая функция вида $t^2+C$ имеет производную $2t$.

4. Используем начальное условие $s(0)=1$:
   $0^2+C=1\Rightarrow C=1$.

5. Искомый закон движения: $s(t)=t^2+1$.