Алгебра, полный курс для 11 класса

Из примера с движением мы увидели, что у функции $f(x)$ может быть много первообразных. Это описывается основным свойством.

Теорема (основное свойство первообразной):
Если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то любая другая первообразная $\mathrm{\Phi }(x)$ для $f(x)$ на этом промежутке может быть представлена в виде:

$$\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.

Доказательство:

1. Пусть $F(x)$ и $\mathrm{\Phi }(x)$ — две первообразные для $f(x)$ на $I$. Это значит, что $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ и ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$.

2. Рассмотрим функцию $h(x)=\mathrm{\Phi }(x)-F(x)$. Найдем её производную:
   $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)-F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-f(x)=0$.

3. Из математического анализа известно (теорема о постоянстве функции), что если производная функции равна нулю на промежутке, то сама функция постоянна на этом промежутке. Следовательно, $h(x)=C$, где $C$ — константа.

4. Значит, $\mathrm{\Phi }(x)-F(x)=C$ => $\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C$. Что и требовалось доказать.

Геометрический смысл: Графики всех первообразных получаются из графика одной из них параллельным переносом вдоль оси OY.