Алгебра, полный курс для 11 класса

Существует замечательная связь между определённым интегралом и первообразной. Это и есть формула Ньютона–Лейбница.

Теорема: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, а $F(x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то определённый интеграл равен приращению первообразной:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Доказательство (идея):

1. Рассмотрим функцию площади $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$. Это площадь под графиком от $a$ до $x$. Ранее мы установили, что ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$, то есть $\mathrm{\Phi }(x)$ — первообразная для $f(x)$.

2. Пусть $F(x)$ — любая другая первообразная для $f(x)$. По основному свойству первообразных, $F(x)=\mathrm{\Phi }(x)+C$.

3. Вычислим разность:
   $F(b)-F(a)=(\mathrm{\Phi }(b)+C)-(\mathrm{\Phi }(a)+C)=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)$.

4. По определению $\mathrm{\Phi }(a)={\int }_a^{a}f(t)dt=0$, а $\mathrm{\Phi }(b)={\int }_a^{b}f(t)dt$. Следовательно, $F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$. Что и требовалось доказать.

Пример 1:
Вычислить интеграл ${\int }_1^2{x}^{2}dx$.
Решение:

1. Находим первообразную для $x^2$: $F(x)=\frac{x^3}{3}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

   $${\int }_1^2{x}^{2}dx=F(2)-F(1)=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$

Ответ: $\frac{7}{3}$.