Текст учебника. Урок 12. Определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница.: Свойства определённого интеграла

Тема урока: Определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели урока:

Предметные: Сформировать понятие определённого интеграла как предела интегральных сумм, показать его геометрический смысл (площадь криволинейной трапеции). Доказать и научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённых интегралов.
Метапредметные: Развивать умения строить логические цепочки, переходить от частного (задача о площади) к общему (математическая абстракция), анализировать и обобщать.
Личностные: Формировать понимание единства математического анализа, значимости открытий Ньютона и Лейбница для развития науки.

Планируемые результаты:

Знать: Определение определённого интеграла, его геометрический смысл, формулу Ньютона-Лейбница, простейшие свойства.
Уметь: Вычислять определённые интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница, интерпретировать результат как площадь.

Сформулируем основные свойства, которые следуют как из определения, так и из формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл от суммы: $\int_{a}^{b} (f (x) \pm g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
Вынесение константы: $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Свойство линейности: $\int_{a}^{b} (k_{1} f (x) + k_{2} g (x)) d x = k_{1} \int_{a}^{b} f (x) d x + k_{2} \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
Аддитивность: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ , где $c \in [a, b]$ .
Если $f (x) \geq 0$ на $[a, b]$ , то $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$ .
Если $f (x) \leq g (x)$ на $[a, b]$ , то $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ .