Текст урока. Урок 5. Параллельность прямых в пространстве.

Лемма (вспомогательная теорема): Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Формулировка своими словами: Параллельные прямые ведут себя одинаково по отношению к плоскости: если одна «проткнула» плоскость, вторая тоже обязана её проткнуть (не может парить над ней или лежать в ней).

Доказательство:

1. Дано: $a\parallel b$, прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$.

2. Доказать: $b$ пересекает $\alpha$.

3. Так как $a\parallel b$, существует единственная плоскость $\beta$, содержащая $a$ и $b$.

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ (так как у них есть общая точка $A$ — точка пересечения $a$ и $\alpha$, и $A$ лежит в $\beta$).

5. В плоскости $\beta$ прямые $a$ и $b$ параллельны. Прямая $c$ пересекает $a$ в точке $A$. По свойству параллельных прямых на плоскости, $c$ пересекает и $b$ в некоторой точке $B$.

6. Точка $B$ принадлежит и прямой $b$, и плоскости $\alpha$ (так как $c$ лежит в $\alpha$). Значит, $b$ пересекает $\alpha$ в точке $B$. Лемма доказана.

Иллюстрация: Два параллельных луча света. Если один луч ударился в стену (пересек плоскость стены), то и второй луч, идущий параллельно, тоже обязательно ударится в стену (если, конечно, стена бесконечна).