Текст урока. Урок 7. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве.

Сначала вспомним планиметрию:

• Угол между пересекающимися прямыми — это меньший из углов, образованных при их пересечении (от $0^{\circ }$ до ${90}^{\circ }$ включительно? Обычно от $0^{\circ }$ до ${90}^{\circ }$ для острого угла, или до ${180}^{\circ }$? В стереометрии принято от $0^{\circ }$ до ${90}^{\circ }$ включительно).

Определение угла между скрещивающимися прямыми:

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, проведенными параллельно данным через произвольную точку пространства.

Алгоритм построения:

1. Выбрать произвольную точку $M$ в пространстве (удобно выбрать на одной из данных прямых).

2. Провести через $M$ прямые, параллельные данным.

3. Измерить угол между этими построенными пересекающимися прямыми.

Важное замечание: Угол не зависит от выбора точки $M$. (Обосновывается теоремой о равенстве углов с сонаправленными сторонами, см. п. 2.4).

Пример в кубе (классика):
Найти угол между скрещивающимися ребрами $AB$ и $C_1{D}_1$ в кубе.

• $AB\parallel A_1{B}_1$.

• Перенесем $C_1{D}_1$ параллельно вниз: $C_1{D}_1\parallel CD$.

• Вместо $AB$ и $C_1{D}_1$ берем пересекающиеся прямые $A_1{B}_1$ и $C_1{D}_1$. Они лежат в верхней грани и пересекаются? Нет, они параллельны. Угол $0^{\circ }$? Но $AB$ и $C_1{D}_1$ явно не параллельны.

• Исправление: Возьмем $AB$ и $C_1{D}_1$. Перенесем $AB$ на верхнюю грань: $AB\parallel A_1{B}_1$. Теперь $A_1{B}_1$ и $C_1{D}_1$ — это противоположные стороны квадрата, они параллельны. Угол $0^{\circ }$ — неинтересно.

• Лучший пример: Угол между $AB$ и $B_1{C}_1$.

  • $AB\parallel A_1{B}_1$.

  • $B_1{C}_1$ оставляем.

  • Прямые $A_1{B}_1$ и $B_1{C}_1$ пересекаются в точке $B_1$. Угол между ними ${90}^{\circ }$ (так как грани квадрата).

  • Значит, угол между скрещивающимися $AB$ и $B_1{C}_1$ равен ${90}^{\circ }$.

Еще пример: Угол между диагональю грани $AC$ и ребром $B_1{C}_1$ в кубе.

• $B_1{C}_1\parallel BC$. Переносим $B_1{C}_1$ в нижнюю грань: $BC$.

• $AC$ и $BC$ пересекаются в точке $C$. Угол $ACB$ — это угол между диагональю квадрата и его стороной = ${45}^{\circ }$.

• Ответ: ${45}^{\circ }$.