Текст урока. Урок 7. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. | Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами в пространстве

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Тип урока: Урок «открытия» нового знания.
Цели урока:

Предметные: Сформулировать определение скрещивающихся прямых; доказать теорему о существовании и единственности плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой; ввести понятие угла между скрещивающимися прямыми; доказать теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Метапредметные: Развивать пространственное воображение (представлять «невидимый» угол между прямыми в разных плоскостях); формировать умение переносить понятие угла из планиметрии в стереометрию.
Личностные: Показать красоту и стройность геометрических рассуждений, связь теории с практикой (строительство, дизайн, инженерия).

5. Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами в пространстве

Эта теорема обосновывает корректность определения угла между скрещивающимися прямыми (независимость от выбора точки).

Формулировка: Если стороны двух углов соответственно сонаправлены (т.е. параллельны и направлены в одну сторону), то такие углы равны.

Пояснение:

Сонаправленные лучи: Два луча называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей их начала (или один луч можно параллельно перенести так, чтобы он совпал с другим, сохранив направление).
В пространстве это работает аналогично планиметрии.

Доказательство (кратко, идея):

Даны два угла $∠ A O B$ и $∠ A_{1} O_{1} B_{1}$ с сонаправленными сторонами: $O A ∥ O_{1} A_{1}$ (сонаправлены), $O B ∥ O_{1} B_{1}$ (сонаправлены).
Откладываем равные отрезки $O A = O_{1} A_{1}$ и $O B = O_{1} B_{1}$ .
Четырехугольники $O A A_{1} O_{1}$ и $O B B_{1} O_{1}$ — параллелограммы (по признаку: две стороны параллельны и равны).
Отсюда $A A_{1} ∥ O O_{1}$ и $B B_{1} ∥ O O_{1}$ , а значит $A A_{1} ∥ B B_{1}$ .
Четырехугольник $A B B_{1} A_{1}$ — тоже параллелограмм, следовательно $A B = A_{1} B_{1}$ .
Треугольники $A O B$ и $A_{1} O_{1} B_{1}$ равны по трем сторонам ( $O A = O_{1} A_{1}$ , $O B = O_{1} B_{1}$ , $A B = A_{1} B_{1}$ ).
Следовательно, соответствующие углы равны. Теорема доказана.

Следствие: Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки, через которую проводятся параллельные прямые (так как при переносе в другую точку получаются углы с сонаправленными сторонами, а они равны).