Текст урока. Урок 7. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве.

Задача 1 (Устно, куб)

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Найдите угол между прямыми:

1. $A{A}_1$ и $BC$. ( $A{A}_1\parallel B{B}_1$, $B{B}_1\perp BC$ → ${90}^{\circ }$ )

2. $AD$ и $B_1{C}_1$. ( $AD\parallel BC$, $BC\parallel B_1{C}_1$ → параллельны → $0^{\circ }$ )

3. $AB$ и $C{C}_1$. ( $AB\parallel DC$, $DC\perp C{C}_1$ → ${90}^{\circ }$ )

4. $AC$ и $B_1{D}_1$. ( $B_1{D}_1\parallel BD$, угол между $AC$ и $BD$ в квадрате = ${90}^{\circ }$ )

Задача 2 (Письменно, тетраэдр)

В тетраэдре $DABC$ все ребра равны. Точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $AC$. Найдите угол между прямыми $MN$ и $DB$.

Решение:

1. $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ → $MN\parallel BC$.

2. Угол между $MN$ и $DB$ равен углу между $BC$ и $DB$ (по определению, через параллельный перенос).

3. Рассмотрим треугольник $DBC$. Он равносторонний (все ребра тетраэдра равны).

4. Угол $DBC$ = ${60}^{\circ }$ (как угол равностороннего треугольника).

5. Ответ: ${60}^{\circ }$.

Задача 3 (На применение теоремы о плоскости)

Даны скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Докажите, что существует единственная плоскость, проходящая через $a$ и параллельная $b$. (Это прямая формулировка теоремы — устное проговаривание доказательства).