Текст урока. Урок 8. Параллельность плоскостей.

Формулировка: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Краткая запись:

$$a\subset \alpha ,b\subset \alpha ,a\cap b=O$$$$a_1\subset \beta ,b_1\subset \beta ,a_1\cap b_1=O_1$$$$a\parallel a_1,b\parallel b_1\Rightarrow \alpha \parallel \beta$$

Геометрическая иллюстрация: На доске чертятся две плоскости $\alpha$ и $\beta$ (два параллелограмма, расположенные параллельно). В плоскости $\alpha$ рисуются пересекающиеся прямые $a$ и $b$. В плоскости $\beta$ — прямые $a_1\parallel a$ и $b_1\parallel b$.

Доказательство (метод от противного — разбираем пошагово):

1. Дано: $a\parallel a_1$, $b\parallel b_1$, $a$ и $b$ пересекаются.

2. Предположим противное: Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой $c$.

3. Анализ расположения прямых: В плоскости $\alpha$ прямые $a$ и $b$ пересекаются. Посмотрим на их отношение к прямой $c$.

   • Прямая $c$ лежит в $\beta$. Прямая $a_1$ лежит в $\beta$ и параллельна $a$. Если $a$ пересекает $c$, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми... Нужно аккуратно.

4. Более строгое рассуждение:

   • Так как $a\parallel a_1$, то прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ (по признаку параллельности прямой и плоскости: $a$ не лежит в $\beta$, $a\parallel a_1\subset \beta$).

   • Аналогично, $b\parallel \beta$.

   • Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, то в плоскости $\alpha$ имеем: две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ обе параллельны плоскости $\beta$. Но каждая из них параллельна линии пересечения $c$? Не факт.

5. Классическое доказательство (из учебника):

   • Через точку $O$ (пересечение $a$ и $b$) проведем плоскость ${\beta }^{\mathrm{\prime }}$, параллельную $\beta$ (предположим, что она существует). Но мы не знаем.

   • Проще: Допустим, $\alpha \cap \beta =c$.

   • В плоскости $\alpha$ прямые $a$ и $b$ пересекаются. Прямая $c$ лежит в $\alpha$.

   • Может ли $c$ пересекать $a$? Если $c$ пересекает $a$ в точке $M$, то $M$ принадлежит и $\beta$ (так как $c\subset \beta$), и $a$. Но $a\parallel a_1\subset \beta$, и если $a$ имеет общую точку с $\beta$, то по лемме о параллельных прямых $a$ лежит в $\beta$ или пересекает? Нет, если прямая параллельна плоскости, она не может иметь с ней общих точек. Значит, $c$ не может пересекать $a$. Аналогично, $c$ не может пересекать $b$.

   • В плоскости $\alpha$ имеем: прямая $c$ не пересекает ни $a$, ни $b$, но $a$ и $b$ пересекаются. На плоскости через точку пересечения $O$ можно провести только одну прямую, параллельную $c$ (аксиома параллельных). Но у нас две разные прямые $a$ и $b$ обе параллельны $c$ и проходят через $O$ — противоречие.

   • Следовательно, наше предположение о пересечении плоскостей неверно. Значит, $\alpha \parallel \beta$. Теорема доказана.

Итог: Чтобы доказать параллельность плоскостей, достаточно найти в каждой плоскости по паре пересекающихся прямых, которые параллельны между собой.