Текст урока. Урок 8. Параллельность плоскостей.

Если плоскости параллельны, то они обладают важными свойствами.

Свойство 1 (о линиях пересечения с третьей плоскостью)

Формулировка: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Иллюстрация: Возьмем две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Проведем плоскость $\gamma$, которая пересекает их. Получим прямые $a=\alpha \cap \gamma$ и $b=\beta \cap \gamma$. Утверждается: $a\parallel b$.

Доказательство:

1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\gamma$.

2. Если бы они пересекались, то точка пересечения принадлежала бы и $\alpha$, и $\beta$ (так как $a\subset \alpha$, $b\subset \beta$). Но $\alpha \parallel \beta$, значит, общих точек нет.

3. Следовательно, $a$ и $b$ не пересекаются и лежат в одной плоскости → они параллельны. Доказано.

Пример: Пол ( $\alpha$ ) и потолок ( $\beta$ ) параллельны. Стена ( $\gamma$ ) пересекает их. Линии пересечения стены с полом и стены с потолком — параллельны (плинтус на полу и линия стыка обоев на потолке идут параллельно).

Свойство 2 (о равных отрезках между параллельными плоскостями)

Формулировка: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Иллюстрация: Даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ пересекают $\alpha$ в точках $A$ и $C$, а $\beta$ — в точках $B$ и $D$. Тогда $AB=CD$.

Доказательство:

1. Через параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ проведем плоскость $\gamma$ (она единственна).

2. Плоскость $\gamma$ пересекает $\alpha$ по прямой $AC$, а $\beta$ — по прямой $BD$.

3. По свойству 1, $AC\parallel BD$.

4. В плоскости $\gamma$ четырехугольник $ABDC$ (или $ACDB$) имеет $AB\parallel CD$ (по условию, $l_1\parallel l_2$) и $AC\parallel BD$ (по доказанному). Значит, это параллелограмм.

5. В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD$. Доказано.

Пример: Если две вертикальные колонны (параллельные прямые) упираются в пол и параллельный ему потолок, то их длины равны. Или: расстояние между двумя параллельными плоскостями везде одинаково.