Текст урока. Урок 8. Параллельность плоскостей.

Задача 1 (Устно, на применение признака)

Даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. В плоскости $\alpha$ проведены две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. В плоскости $\beta$ проведены прямые $a_1\parallel a$ и $b_1\parallel b$. Будут ли плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны? (Да, это прямое применение признака).

Задача 2 (Письменно, средний уровень)

Условие: Докажите, что если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то она параллельна некоторой плоскости $\beta$, содержащей $\alpha$? Некорректно. Лучше так:

Задача: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Прямая $a$ лежит в $\alpha$. Докажите, что $a\parallel \beta$.

Решение:

1. Прямая $a$ лежит в $\alpha$.

2. Если бы $a$ пересекала $\beta$, то точка пересечения принадлежала бы и $\alpha$ (так как $a\subset \alpha$), и $\beta$. Но $\alpha \parallel \beta$, значит, общих точек нет.

3. Следовательно, $a$ не имеет общих точек с $\beta$. А так как $a$ не лежит в $\beta$ (она лежит в $\alpha$, а плоскости различны), то $a\parallel \beta$.

Задача 3 (На свойство 2)

Условие: Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают стороны угла $A$ в точках $B,C$ и $B_1,C_1$ соответственно ( $B$ и $B_1$ на одной стороне, $C$ и $C_1$ на другой). Известно, что $AB=5$ см, $B{B}_1=10$ см, $BC=4$ см. Найдите $B_1{C}_1$.

Чертеж: Угол с вершиной $A$. Плоскость $\alpha$ пересекает стороны в $B$ и $C$, плоскость $\beta$ — в $B_1$ и $C_1$, причем $\alpha \parallel \beta$.

Решение:

1. Прямые $BC$ и $B_1{C}_1$ — линии пересечения плоскости угла с плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

2. По свойству 1: $BC\parallel B_1{C}_1$.

3. Треугольники $ABC$ и $A{B}_1{C}_1$ подобны (по двум углам: угол $A$ общий, углы при $B$ и $B_1$ соответственные при параллельных прямых).

4. Коэффициент подобия: $\frac{A{B}_1}{AB}=\frac{5+10}{5}=\frac{15}{5}=3$.

5. $B_1{C}_1=BC\cdot 3=4\cdot 3=12$ см.
   Ответ: 12 см.

Задача 4 (На построение, устно)

Через точку $M$, не лежащую между двумя параллельными плоскостями, проведите плоскость, параллельную обеим данным. Сколько таких плоскостей? (Одну, единственную).