Текст урока. Урок 10. Перпендикулярные прямые в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. | Признак перпендикулярности прямой и плоскости (главная теорема)

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Тип урока: Урок «открытия» нового знания.
Цели урока:

Предметные: Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве; доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей; ввести определение прямой, перпендикулярной плоскости; доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости; сформулировать теорему о существовании и единственности перпендикуляра к плоскости.
Метапредметные: Развивать логическое мышление (построение цепочек рассуждений, доказательство от противного), пространственное воображение, умение обобщать.
Личностные: Показать практическую значимость перпендикулярности в строительстве, технике, архитектуре (вертикальность колонн, перпендикулярность стен и пола).

5. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (главная теорема)

Формулировка: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Краткая запись:

$a ⊥ m, a ⊥ n, m \subset α, n \subset α, m \cap n = O \Rightarrow a ⊥ α$

Геометрическая иллюстрация: Плоскость $α$ , в ней две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ . Прямая $a$ проходит через точку их пересечения $O$ (или не обязательно через неё — доказывается через параллельный перенос) и перпендикулярна обеим.

Доказательство (основная идея — для уровня 10 класса):

Проведем через точку $O$ пересечения $m$ и $n$ прямую $a^{'} ∥ a$ . Достаточно доказать $a^{'} ⊥ α$ , тогда и $a ⊥ α$ (по лемме).
Возьмем в плоскости $α$ произвольную прямую $l$ , проходящую через $O$ . Нужно доказать $a^{'} ⊥ l$ .
На прямых $m$ и $n$ отложим равные отрезки $O A = O A^{'}$ и $O B = O B^{'}$ (по разные стороны от $O$ ).
Соединим точки $A, B, A^{'}, B^{'}$ . Получим параллелограмм или ромб. Прямая $a^{'}$ проходит через $O$ и (по условию) перпендикулярна $m$ и $n$ , значит, она является серединным перпендикуляром к отрезкам $A A^{'}$ и $B B^{'}$ (так как $a^{'}$ проходит через середины? Нет, нужно аккуратно).
Упрощенное рассуждение (наиболее понятное для класса): Рассмотрим треугольники, образованные прямыми. Используя равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними ( $90^{\circ}$ ), можно доказать, что расстояния от концов отрезков на $l$ до $O$ равны, следовательно, $a^{'}$ перпендикулярна $l$ .
Так как $l$ — произвольная прямая в $α$ , то $a^{'} ⊥ α$ , а значит, и $a ⊥ α$ . Теорема доказана.

Практический смысл: Чтобы проверить, вертикально ли стоит столб, достаточно убедиться, что он перпендикулярен двум пересекающимся прямым на полу (например, двум линиям разметки). Тогда он будет перпендикулярен полу целиком.