Текст урока. Урок 11. Теорема о трёх перпендикулярах. | Геометрическая иллюстрация на кубе и пирамиде

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цели урока:

Предметные: Ввести понятия перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной; сформулировать и доказать прямую и обратную теоремы о трёх перпендикулярах; научиться применять теорему при решении задач.
Метапредметные: Развивать умение выделять ключевую конфигурацию (перпендикуляр, наклонная, проекция) в пространственных чертежах; формировать навыки логического рассуждения.
Личностные: Показать практическую ценность теоремы (строительство, измерение расстояний, навигация).

5. Геометрическая иллюстрация на кубе и пирамиде

Пример 1 (куб):
В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ докажем, что $B D_{1} ⊥ A C$ .

Рассмотрим плоскость $A B C$ (нижнее основание).
$D_{1} D ⊥ (A B C)$ (ребро перпендикулярно основанию).
$B D$ — проекция наклонной $B D_{1}$ на плоскость $A B C$ .
В квадрате $A B C D$ диагонали перпендикулярны: $A C ⊥ B D$ .
По теореме о трёх перпендикулярах (прямой): $A C ⊥ B D$ (проекция) ⇒ $A C ⊥ B D_{1}$ (наклонная).

Пример 2 (пирамида):
В правильной пирамиде $S A B C$ (с вершиной $S$ , основание — равносторонний треугольник $A B C$ ) докажем, что $S O ⊥ B C$ , где $O$ — центр основания.

$S O ⊥ (A B C)$ (высота пирамиды).
$A O$ — проекция наклонной $S A$ на плоскость основания. Но здесь другая конфигурация.
Лучше: Пусть $M$ — середина $B C$ . Тогда $A M ⊥ B C$ . $S M$ — наклонная, $A M$ — её проекция. $B C ⊥ A M$ ⇒ по теореме о трёх перпендикулярах $B C ⊥ S M$ . Это доказывает, что апофема $S M$ перпендикулярна стороне основания.