Текст урока. Урок 11. Теорема о трёх перпендикулярах. | Первичное закрепление (решение задач)

6. Первичное закрепление (решение задач)

Задача 1 (Устно, на готовом чертеже куба)

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Определите, верно ли утверждение:

$A B ⊥ B_{1} C_{1}$ ? (Нет, $A B ∥ A_{1} B_{1}$ , а $A_{1} B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$ ? Верхняя грань: $A_{1} B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$ , но $A B ∥ A_{1} B_{1}$ , значит $A B ⊥ B_{1} C_{1}$ ? Да, но это не теорема о трёх перпендикулярах, а свойство перпендикулярности параллельных прямых.)
Найдите пару: проекция — наклонная — прямая в плоскости, перпендикулярная проекции.
- Проекция: $A B$ , наклонная: $A B_{1}$ , прямая: $B C$ . $B C ⊥ A B$ (в квадрате) ⇒ $B C ⊥ A B_{1}$ .

Задача 2 (Письменно, базовая)

Условие: Из точки $A$ к плоскости $α$ проведены перпендикуляр $A B$ и наклонная $A C$ . В плоскости $α$ через точку $C$ проведена прямая $a$ , перпендикулярная $B C$ . Докажите, что $a ⊥ A C$ .

Решение: Это прямое применение теоремы о трёх перпендикулярах. Условие полностью соответствует формулировке: $a ⊥ B C$ (проекции) ⇒ $a ⊥ A C$ (наклонной).

Задача 3 (Письменно, средний уровень)

Условие: В треугольнике $A B C$ угол $C = 90^{\circ}$ . Отрезок $C D$ перпендикулярен плоскости треугольника. Докажите, что $A C ⊥ B C$ и $A C ⊥ B D$ ?

Решение:

$∠ A C B = 90^{\circ}$ ⇒ $A C ⊥ B C$ (по условию, в плоскости).
$C D ⊥ (A B C)$ ⇒ $C D ⊥ A C$ (по определению).
$A C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B C$ и $C D$ в плоскости $B C D$ ⇒ $A C ⊥ (B C D)$ .
Следовательно, $A C$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $B C D$ , в том числе $B D$ . Значит, $A C ⊥ B D$ .

(Здесь теорема о трёх перпендикулярах не понадобилась, но полезно заметить.)

Задача 4 (На обратную теорему):
Условие: Из точки $A$ к плоскости проведён перпендикуляр $A B$ и наклонная $A C$ . В плоскости через точку $C$ проведена прямая $a$ , перпендикулярная $A C$ . Что можно сказать о $a$ и $B C$ ?

Решение: $a ⊥ A C$ (наклонной) ⇒ по обратной теореме $a ⊥ B C$ (проекции).