Текст урока. Урок 13. Перпендикулярность плоскостей. Прямоугольный параллелепипед. | Признак перпендикулярности плоскостей (главная теорема)

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цели урока:

Предметные: Сформулировать определение перпендикулярных плоскостей; доказать признак перпендикулярности плоскостей; изучить свойства перпендикулярных плоскостей; дать определение прямоугольного параллелепипеда, доказать теорему о квадрате его диагонали.
Метапредметные: Развивать умение применять аналогию (перпендикулярность прямых → перпендикулярность плоскостей), пространственное воображение, навыки доказательных рассуждений.
Личностные: Показать практическую значимость перпендикулярности плоскостей в строительстве, архитектуре, дизайне (вертикальность стен, параллельность пола и потолка).

3. Признак перпендикулярности плоскостей (главная теорема)

Формулировка: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Краткая запись:

$a ⊥ β, a \subset α \Rightarrow α ⊥ β$

Геометрическая иллюстрация:

Плоскость $β$ (горизонтальная).
Прямая $a$ перпендикулярна $β$ (вертикаль).
Плоскость $α$ проходит через $a$ (например, вертикальная плоскость, содержащая эту вертикаль).
Утверждается: $α ⊥ β$ .

Доказательство:

Пусть $a ⊥ β$ , $a \subset α$ , и $α \cap β = c$ (линия пересечения плоскостей).
Так как $a ⊥ β$ , то $a ⊥ c$ (прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $c$ ).
Проведём в плоскости $β$ через точку пересечения $a$ и $c$ (точку $O$ ) прямую $b$ , перпендикулярную $c$ .
Имеем: $a ⊥ c$ и $b ⊥ c$ . Значит, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $α$ и $β$ .
Но $a ⊥ β$ , значит $a ⊥ b$ (так как $b \subset β$ ). Следовательно, угол между $a$ и $b$ равен $90^{\circ}$ .
Таким образом, линейный угол двугранного угла равен $90^{\circ}$ ⇒ плоскости перпендикулярны. Теорема доказана.

Практический смысл: Чтобы стена была перпендикулярна полу, достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну прямую, перпендикулярную полу (например, вертикальный угол комнаты).