Текст урока. Урок 13. Перпендикулярность плоскостей. Прямоугольный параллелепипед. | Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цели урока:

Предметные: Сформулировать определение перпендикулярных плоскостей; доказать признак перпендикулярности плоскостей; изучить свойства перпендикулярных плоскостей; дать определение прямоугольного параллелепипеда, доказать теорему о квадрате его диагонали.
Метапредметные: Развивать умение применять аналогию (перпендикулярность прямых → перпендикулярность плоскостей), пространственное воображение, навыки доказательных рассуждений.
Личностные: Показать практическую значимость перпендикулярности плоскостей в строительстве, архитектуре, дизайне (вертикальность стен, параллельность пола и потолка).

Теорема: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.
$d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Доказательство (для диагонали $A C_{1}$ ):

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с измерениями $A B = a$ , $A D = b$ , $A A_{1} = c$ .
Диагональ основания $A C$ найдём по теореме Пифагора из треугольника $A B C$ ( $∠ B = 90^{\circ}$ ):
$A C^{2} = a^{2} + b^{2}$
Рассмотрим треугольник $A C C_{1}$ . В нём $A C_{1}$ — диагональ параллелепипеда, $A C$ — диагональ основания, $C C_{1} = c$ — боковое ребро.
Так как $C C_{1} ⊥ (A B C)$ , то $C C_{1} ⊥ A C$ (любой прямой в плоскости основания). Значит, $∠ A C C_{1} = 90^{\circ}$ .
По теореме Пифагора для треугольника $A C C_{1}$ :
$A C_{1}^{2} = A C^{2} + C C_{1}^{2} = (a^{2} + b^{2}) + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Следовательно, $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . Теорема доказана.

Следствие: Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, так как их квадраты равны одной и той же сумме.

Важный частный случай — куб: $a = b = c$ . Тогда $d^{2} = 3 a^{2}$ , $d = a \sqrt{3}$ .