Текст урока. Урок 3. Следствия из аксиом стереометрии.

Формулировка: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Разбор условия: Дано: прямые $a$ и $b$, $a\cap b=O$ (пересекаются в точке $O$).

Доказательство (чертеж: две прямые крест-накрест):

1. На прямой $a$ возьмем точку $A$, отличную от $O$.
   На прямой $b$ возьмем точку $B$, отличную от $O$.

2. Точки $A,B,O$ не лежат на одной прямой (так как $A$ и $O$ лежат на $a$, а $B$ — нет; иначе $b$ совпала бы с $a$).

3. По аксиоме А1 через $A,B,O$ проходит единственная плоскость $\alpha$.

4. Докажем, что прямые $a$ и $b$ лежат в $\alpha$:

   • Прямая $a$ проходит через точки $A$ и $O$. Обе точки лежат в $\alpha$ → по А2 прямая $a$ лежит в $\alpha$.

   • Прямая $b$ проходит через точки $B$ и $O$. Обе точки лежат в $\alpha$ → по А2 прямая $b$ лежит в $\alpha$.

5. Следовательно, плоскость $\alpha$ содержит обе прямые. Единственность — по А1. Теорема доказана.

Итог: Теперь мы знаем 4 способа задать плоскость в пространстве:

1. Тремя точками (не на одной прямой).

2. Прямой и точкой вне её.

3. Двумя пересекающимися прямыми.

4. Двумя параллельными прямыми (изучим позже).