Текст урока. Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии.

Ключевое правило: Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, проходящая через две общие точки этих плоскостей (А3).

Задача 3 (Базовая, на кубе)

Условие: Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Найдите линию пересечения плоскостей:
а) $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$. (Ответ: эти плоскости параллельны — нет общих точек, не пересекаются).
б) $A{A}_1{C}_1$ и $B{B}_1{D}_1$.

Решение пункта (б) с чертежом:

1. Плоскость $A{A}_1{C}_1$ (диагональное сечение) содержит диагональ $AC$ и ребро $A{A}_1$.

2. Плоскость $B{B}_1{D}_1$ содержит диагональ $BD$ и ребро $B{B}_1$.

3. Найдем общие точки:

   • Ребра $A{A}_1$ и $B{B}_1$ параллельны и не пересекаются.

   • Диагонали оснований $AC$ и $BD$ пересекаются в центре нижнего основания — точке $O$.

   • Диагонали верхнего основания $A_1{C}_1$ и $B_1{D}_1$ пересекаются в центре верхнего основания — точке $O_1$.

4. Точка $O$ принадлежит плоскости $A{A}_1{C}_1$ (лежит на $AC$) и плоскости $B{B}_1{D}_1$ (лежит на $BD$).

5. Точка $O_1$ принадлежит плоскости $A{A}_1{C}_1$ (лежит на $A_1{C}_1$) и плоскости $B{B}_1{D}_1$ (лежит на $B_1{D}_1$).

6. По аксиоме А3, плоскости пересекаются по прямой $O{O}_1$.

Ответ: $O{O}_1$.

Задача 4 (С тетраэдром)

Условие: В тетраэдре $DABC$ точки $M\in DC$, $N\in BC$. Постройте линию пересечения плоскости $(ABC)$ и плоскости $(MNB)$.

Решение:

1. Плоскость $ABC$ — основание.

2. Плоскость $MNB$ проходит через точки $N$ (на $BC$) и $B$ (вершина). Эти две точки уже лежат в плоскости $ABC$!

3. Значит, прямая $NB$ — это и есть линия пересечения плоскостей $ABC$ и $MNB$.