Текст урока. Урок 15. Пирамида.

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды:

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot a$$

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, $a$ — апофема.

Доказательство (вывод формулы):

1. Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из $n$ равных равнобедренных треугольников (по числу сторон основания).

2. Площадь одного бокового треугольника: $S_{\text{тр}}=\frac{1}{2}\cdot (\text{сторона основания})\cdot (\text{апофема})$.

3. Суммируя площади всех $n$ треугольников, получаем:

   $$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (A_1{A}_2+A_2{A}_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+A_n{A}_1)=\frac{1}{2}\cdot P_{\text{осн}}\cdot a$$

   Теорема доказана.

Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$$

Сравнение с прямой призмой:

• У прямой призмы: $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ (где $h$ — высота призмы).

• У правильной пирамиды: $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot a$ (где $a$ — апофема).

• Появляется коэффициент $\frac{1}{2}$, так как вместо прямоугольников — треугольники.