2. Понятие кратности корня многочлена

Что такое кратность корня?

Кратность корня — это показатель степени, с которой данный корень входит в разложение многочлена на множители.

Если многочлен можно представить в виде:
P(x) = (x - a)^k · P₁(x), где P₁(a) ≠ 0, то говорят, что x = a — корень кратности k.

Пример 1: Многочлен P(x) = (x - 2)³(x + 1)

  • x = 2 — корень кратности 3

  • x = -1 — корень кратности 1

Влияние кратности корня на смену знака

При переходе через корень многочлена:

  • Если кратность нечётная (1, 3, 5, ...) — знак функции меняется на противоположный.

  • Если кратность чётная (2, 4, 6, ...) — знак функции сохраняется (происходит "касание" оси).

Почему так происходит?
Рассмотрим окрестность точки a. Представим многочлен в виде (x - a)^k · h(x), где h(a) ≠ 0. При переходе через a множитель h(x) сохраняет знак, а множитель (x - a)^k:

  • При нечётном k: меняет знак (отрицательный слева, положительный справа)

  • При чётном k: всегда положителен (кроме самой точки)

Пример 2: Исследуем смену знака

  1. y = (x - 1)¹: при x < 1 — отрицательно, при x > 1 — положительно (знак меняется)

  2. y = (x - 1)²: при x < 1 — положительно, при x > 1 — положительно (знак не меняется)

  3. y = (x - 1)³: при x < 1 — отрицательно, при x > 1 — положительно (знак меняется)