Алгебра, полный курс для 9 класса

Определение системы уравнений

В жизни часто возникают ситуации, когда одна и та же неизвестная величина должна удовлетворять нескольким условиям одновременно. Например, если мы знаем, что сумма двух чисел равна 10, а их разность равна 2, то мы имеем два условия, которым должны удовлетворять одни и те же числа. Математически это записывается в виде системы.

Определение: Системой двух уравнений с двумя переменными называется два уравнения, объединённых фигурной скобкой, для которых требуется найти все пары значений переменных, удовлетворяющие одновременно каждому уравнению системы.

Общий вид:

$$\{\begin{array}{l}F(x,y)=0\\ G(x,y)=0\end{array}$$

Пара чисел как решение системы

Определение решения системы: Решением системы уравнений с двумя переменными называется такая пара чисел $(x_0;y_0)$, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Пример 1:
Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}$$

• Проверим пару $(3;2)$:
  Подставим в первое: $3+2=5$ — верно.
  Подставим во второе: $3-2=1$ — верно.
  Значит, $(3;2)$ — решение системы.

• Проверим пару $(4;1)$:
  Первое: $4+1=5$ — верно.
  Второе: $4-1=3\mathrm{\ne }1$ — неверно.
  Значит, $(4;1)$ не является решением системы.

Важно: Решением системы является именно пара чисел, причём порядок важен: $(3;2)$ и $(2;3)$ — это разные пары (если только они не совпадают случайно).

Геометрическая интерпретация

Каждое уравнение с двумя переменными можно изобразить на координатной плоскости в виде некоторой линии (графика уравнения).

• Уравнение первой степени (линейное) $ax+by=c$ задаёт прямую линию.

• Уравнение второй степени может задавать параболу, окружность, гиперболу и т.д.

Геометрический смысл решения системы:
Решением системы являются координаты точек пересечения линий, задаваемых уравнениями системы.

Пример 2:
Рассмотрим систему из примера 1:

$$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}$$

• Первое уравнение $x+y=5$ — прямая, проходящая через точки $(0;5)$ и $(5;0)$

• Второе уравнение $x-y=1$ — прямая, проходящая через точки $(0;-1)$ и $(1;0)$

• Эти прямые пересекаются в точке $(3;2)$, что и является решением системы.

Количество решений:

• Две прямые могут пересекаться в одной точке (одно решение)

• Быть параллельными (нет решений)

• Совпадать (бесконечно много решений)

Пример 3 (система без решений):

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x+y=5\end{array}$$

Прямые параллельны, не пересекаются → решений нет.

Пример 4 (система с бесконечным множеством решений):

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x+2y=6\end{array}$$

Второе уравнение — это первое, умноженное на 2. Прямые совпадают → бесконечно много решений (все точки прямой).