Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня у нас очень важная тема, которая соединяет геометрию и алгебру. Мы поговорим о том, что такое непрерывность функции и как, зная график простой функции, строить графики более сложных с помощью преобразований.

Начнём с непрерывности. Интуитивно это понятие очень простое: функция непрерывна на промежутке, если её график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Это сплошная линия без разрывов, скачков и дырок.

Посмотрите на график прямой или параболы — это сплошные линии. Они непрерывны в любой точке. А вот график гиперболы икс в минус первой степени имеет разрыв в точке икс равно нулю — там две отдельные ветви, и карандаш приходится отрывать. Это точка разрыва.

В математике важно знать, где функция непрерывна, а где нет. Например, все многочлены непрерывны на всей числовой прямой. Рациональные функции, то есть дроби, непрерывны везде, где знаменатель не равен нулю. В точках, где знаменатель обращается в ноль — разрыв.

Теперь перейдём к преобразованиям графиков. Это очень удобный инструмент: вместо того чтобы строить сложную функцию по точкам, мы берём известный график и применяем к нему простые геометрические операции.

Первое и самое простое — параллельный перенос, или сдвиг. Если мы прибавляем число к функции, график сдвигается по вертикали. Плюс три — вверх на три, минус два — вниз на два.

Если же мы меняем аргумент, добавляя или вычитая число внутри функции, график сдвигается по горизонтали. Но тут важно запомнить правило: икс минус два сдвигает график вправо, а икс плюс два — влево. Внутри скобки знак противоположен направлению сдвига.

Второй тип преобразований — растяжение и сжатие. Если мы умножаем функцию на число больше единицы, график растягивается по вертикали, становится более крутым. Если умножаем на число от нуля до единицы — сжимается, становится более пологим.

А если умножаем аргумент на число, то происходит растяжение или сжатие по горизонтали. Здесь наоборот: умножение на два сжимает график в два раза по горизонтали, а умножение на одну вторую — растягивает.

Третье — отражение. Минус перед функцией отражает график относительно оси икс. То, что было сверху, оказывается снизу. А минус перед аргументом отражает относительно оси игрек: правая часть становится левой, и наоборот.

Все эти преобразования можно комбинировать. Например, чтобы построить график функции два умножить на корень из икс минус один плюс три, мы действуем по порядку: сначала сдвиг вправо на один, потом растяжение по вертикали в два раза, потом сдвиг вверх на три. Важно соблюдать последовательность: сначала преобразования внутри аргумента, потом умножение на коэффициент, потом добавление числа.

Что нужно запомнить. Во-первых, непрерывность — это отсутствие разрывов. Во-вторых, основные преобразования: сдвиги, растяжения, отражения. В-третьих, каждое преобразование меняет график предсказуемым образом, и, зная это, мы можем строить сложные графики быстро и легко.

Домашнее задание — несколько примеров на применение преобразований. Начинайте с простых графиков: прямой, параболы, корня, гиперболы. И последовательно применяйте сдвиги и растяжения. Это полезный навык. Удачи.

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 15:53