Алгебра, полный курс для 9 класса

1.1. Обобщение понятия степенной функции

На прошлом уроке мы изучили степенную функцию с натуральным показателем $y=x^n$. Сегодня мы обобщим это понятие, рассматривая показатели, которые являются рациональными числами.

Определение: Степенной функцией с рациональным показателем называется функция вида:

$$y=x^{\frac{p}{q}}$$

где $\frac{p}{q}$ — рациональное число ($p\in \mathbb{Z}$, $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$), и $x$ — независимая переменная.

1.2. Связь с корнями

Напомним определение степени с рациональным показателем:

$$x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}$$

Это означает, что степенная функция с рациональным показателем тесно связана с операцией извлечения корня.

1.3. Примеры

• $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ — квадратный корень

• $y=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$ — кубический корень

• $y=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}$ — корень третьей степени из квадрата

• $y=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ — обратная величина квадратного корня

• $y=x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$