Текст учебника. Урок 7. Числовые последовательности: определение и способы задания.

Определение аналитического способа

Аналитический способ (или задание формулой общего члена) — это способ, при котором последовательность задаётся формулой, позволяющей вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.

В этом случае мы имеем явное выражение $a_n=f(n)$, где $f$ — некоторая функция натурального аргумента.

Преимущества аналитического способа

1. Можно вычислить любой член последовательности, не зная предыдущих

2. Удобно для исследования свойств последовательности

3. Легко программируется и используется в вычислениях

Пример 13: Простейшие аналитические формулы

Пример 14: Более сложные формулы

1. $a_n=\frac{n}{n+1}$ → $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

2. $a_n=3\cdot 2^{n-1}$ → 3, 6, 12, 24, 48, ... (геометрическая прогрессия)

3. $a_n=\frac{(-1{)}^n\cdot n}{2^n}$ → $-\frac{1}{2},\frac{2}{4},-\frac{3}{8},\frac{4}{16},-\frac{5}{32},\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

4.1. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Для арифметической прогрессии $a_{n+1}=a_n+d$ можно вывести аналитическую формулу.

Вывод:

• $a_1=a_1$

• $a_2=a_1+d$

• $a_3=a_2+d=a_1+2d$

• $a_4=a_3+d=a_1+3d$

По индукции получаем:

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии.

Пример 15: Дана арифметическая прогрессия: 7, 10, 13, 16, ...

• $a_1=7$, $d=3$

• Формула: $a_n=7+(n-1)\cdot 3=7+3n-3=3n+4$

• Проверим: $n=1$: $3\cdot 1+4=7$, $n=2$: $3\cdot 2+4=10$ — верно

Пример 16: Найти 20-й член арифметической прогрессии, если $a_1=-5$, $d=4$

• $a_{20}=-5+(20-1)\cdot 4=-5+19\cdot 4=-5+76=71$