Текст учебника. Урок 7. Числовые последовательности: определение и способы задания. | Примеры и задачи

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Класс: 9
Предмет: алгебра
Тема урока: Числовые последовательности: определение и способы задания
Тип урока: урок изучения нового материала
Цель урока: ввести понятие числовой последовательности, рассмотреть различные способы задания последовательностей, познакомить с рекуррентным и аналитическим способами.
Планируемые результаты:

Знать определение числовой последовательности как функции натурального аргумента
Понимать различие между рекуррентным и аналитическим способами задания
Уметь задавать последовательности различными способами
Знать определение арифметической прогрессии через рекуррентное соотношение

6. Примеры и задачи

Пример 19: Определить последовательность по первым членам

Даны первые члены последовательности: 2, 5, 10, 17, 26, ...
Найти закономерность и задать формулой.

Решение:

$a_{1} = 2 = 1^{2} + 1$
$a_{2} = 5 = 2^{2} + 1$
$a_{3} = 10 = 3^{2} + 1$
$a_{4} = 17 = 4^{2} + 1$
$a_{5} = 26 = 5^{2} + 1$

Закономерность: $a_{n} = n^{2} + 1$

Пример 20: Найти первые члены по формуле

Дана формула $a_{n} = \frac{n}{2 n - 1}$ . Найти первые 5 членов.

Решение:

$n = 1$ : $a_{1} = \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{1} = 1$
$n = 2$ : $a_{2} = \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3}$
$n = 3$ : $a_{3} = \frac{3}{6 - 1} = \frac{3}{5}$
$n = 4$ : $a_{4} = \frac{4}{8 - 1} = \frac{4}{7}$
$n = 5$ : $a_{5} = \frac{5}{10 - 1} = \frac{5}{9}$

Получили: $1, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, . . .$

Пример 21: Работа с рекуррентной формулой

Последовательность задана условиями:

$a_{1} = 2$
$a_{n + 1} = a_{n} \cdot (- 2)$

Найти $a_{5}$ .

Решение:

$a_{1} = 2$
$a_{2} = a_{1} \cdot (- 2) = 2 \cdot (- 2) = - 4$
$a_{3} = a_{2} \cdot (- 2) = (- 4) \cdot (- 2) = 8$
$a_{4} = a_{3} \cdot (- 2) = 8 \cdot (- 2) = - 16$
$a_{5} = a_{4} \cdot (- 2) = (- 16) \cdot (- 2) = 32$

Ответ: 32

Пример 22: Определить, является ли последовательность арифметической прогрессией

Дана последовательность: $a_{n} = 3 n - 2$ . Является ли она арифметической прогрессией?

Решение:

$a_{1} = 3 \cdot 1 - 2 = 1$
$a_{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 4$
$a_{3} = 3 \cdot 3 - 2 = 7$
$a_{4} = 3 \cdot 4 - 2 = 10$

Разности: $4 - 1 = 3$ , $7 - 4 = 3$ , $10 - 7 = 3$ — постоянны. Значит, это арифметическая прогрессия с $d = 3$ .

Пример 23: Найти формулу по рекуррентному соотношению

Последовательность задана: $a_{1} = 5$ , $a_{n + 1} = a_{n} - 3$ . Найти формулу общего члена.

Решение:
Это арифметическая прогрессия с $a_{1} = 5$ и $d = - 3$ .
По формуле: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 5 + (n - 1) (- 3) = 5 - 3 n + 3 = 8 - 3 n$

Проверим:

$n = 1$ : $8 - 3 = 5$ ✓
$n = 2$ : $8 - 6 = 2$ (должно быть $5 - 3 = 2$ ) ✓
$n = 3$ : $8 - 9 = - 1$ (должно быть $2 - 3 = - 1$ ) ✓