Текст учебника. Урок 7. Числовые последовательности: определение и способы задания.

Введение понятия

В математике и окружающей жизни мы часто встречаемся с упорядоченными наборами чисел. Например:

• Номера домов на улице: 1, 2, 3, 4, 5, ...

• Температура воздуха, измеряемая каждый день в полдень: +5°, +7°, +4°, +6°, ...

• Члены геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, ...

Во всех этих примерах числа идут в определённом порядке, и каждое число имеет свой номер (порядковый индекс).

Определение: Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел (или его подмножестве) и принимающая числовые значения.

Обозначение: Обычно последовательность обозначают $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots$ или $\{a_n\}$.

Здесь:

• $a_1$ — первый член последовательности

• $a_2$ — второй член последовательности

• $a_n$ — общий ($n$-й) член последовательности

• $n$ — номер члена (натуральное число)

Последовательность как функция

Важно понимать: последовательность — это функция, у которой:

• Аргумент — натуральное число $n$ (номер члена)

• Значение — число $a_n$ (сам член последовательности)

Запись $a_n=f(n)$ означает, что $n$-й член последовательности вычисляется по некоторому правилу $f$.

Пример 1: Последовательность натуральных чисел: $1,2,3,4,5,\dots$
Здесь $a_n=n$

Пример 2: Последовательность квадратов натуральных чисел: $1,4,9,16,25,\dots$
Здесь $a_n=n^2$

Пример 3: Последовательность обратных чисел: $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\dots$
Здесь $a_n=\frac{1}{n}$