Рассказ учителя. Урок 3. Системы неравенств с одной переменной

Здравствуйте, ребята. Тема сегодняшнего урока — системы неравенств с одной переменной. В жизни мы постоянно сталкиваемся с ситуациями, когда нужно учесть не одно, а сразу несколько условий. Например, чтобы пойти в поход, нужно одновременно: чтобы температура была не ниже пятнадцати градусов и чтобы не было дождя. Это и есть система условий.

В математике то же самое. Система неравенств — это несколько неравенств, объединённых фигурной скобкой. Нам нужно найти все значения икса, которые удовлетворяют каждому неравенству из этой системы. То есть всем условиям сразу.

Давайте сразу к сути. Решить систему — значит найти пересечение решений. Если первое неравенство даёт нам одни числа, а второе — другие, то в ответ пойдут только те, которые попали в оба множества одновременно.

Как это выглядит на практике? Например, простейшая система: икс больше двух и икс меньше семи. Пятёрка подходит? Да, потому что пять больше двух и меньше семи. Единица? Нет, единица меньше двух, хотя второе условие она выполняет. Нужны оба сразу.

Алгоритм действий простой. Во-первых, решаем каждое неравенство по отдельности. Получаем промежутки. Во-вторых, рисуем числовую прямую. Отмечаем на ней все граничные точки. И дальше — самое главное: штрихуем те участки, которые подходят под первое неравенство, и отдельно — под второе. Там, где штриховки пересеклись, там и есть решение системы.

Рассмотрим пример. Возьмём систему: два икс минус пять меньше трёх и семь минус четыре икс меньше или равно пятнадцати. Решаем первое: два икс меньше восьми, икс меньше четырёх. Решаем второе: минус четыре икс меньше или равно восьми. Делим на минус четыре и не забываем перевернуть знак. Получаем икс больше или равен минус двум. Рисуем прямую, отмечаем минус два и четыре. Штрихуем первое решение — всё, что левее четырёх. Штрихуем второе — всё, что правее минус двух, включая саму точку. Пересечение — это отрезок от минус двух до четырёх, причём минус два входит, четыре — нет. Ответ: икс от минус двух до четырёх, включая левую границу.

Бывает и так, что пересечения нет. Например, если одно неравенство требует, чтобы икс был меньше минус двух, а другое — больше пяти. Эти множества не пересекаются. Значит, система решений не имеет.

А теперь важный момент. Есть ещё понятие совокупности неравенств. Не путайте с системой. Система — это «и», обязательное выполнение всех условий. Совокупность — это «или», достаточно выполнения хотя бы одного. Обозначается совокупность квадратной скобкой. Например, если у нас совокупность: икс меньше нуля или икс больше трёх, то в ответ пойдут все числа, которые подходят хотя бы под одно из этих условий. Это будет объединение промежутков, а не пересечение.

Вернёмся к системам. Иногда встречаются системы с квадратными неравенствами. Например, икс в квадрате минус четыре икс плюс три меньше нуля и икс плюс один больше нуля. Первое неравенство решаем через дискриминант, получаем корни один и три, ветви вверх, значит, решение — промежуток между корнями: от одного до трёх. Второе даёт икс больше минус единицы. Пересекаем: от одного до трёх полностью входит в область от минус единицы до бесконечности. Ответ: от одного до трёх.

Двойные неравенства, например минус два меньше, чем два икс минус четыре, и это меньше или равно пяти, тоже удобно решать как систему. Записываем два условия: два икс минус четыре больше минус двух и меньше или равно пяти. Решаем каждое и находим пересечение.

Что важно запомнить на сегодня. Во-первых, система — это фигурная скобка и пересечение решений. Во-вторых, всегда рисуйте числовую прямую — это лучший способ не запутаться. В-третьих, проверяйте граничные точки: если неравенство строгое, точка не включается, если нестрогое — включается. И главное: если множества не пересекаются, решений нет.

Дома потренируетесь на системах с линейными и квадратными неравенствами. Это несложно, главное — внимательность. Удачи