Рассказ учителя. Урок 10. Геометрическая прогрессия: определение, формула n-го члена

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Мы с вами уже хорошо изучили арифметическую прогрессию — последовательность, где каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа. Но в жизни часто встречаются процессы, где величина изменяется не на постоянную величину, а в постоянное число раз.

Представьте, что вы положили деньги в банк под проценты. Каждый год ваша сумма умножается на одно и то же число — на единицу плюс процентная ставка. Или возьмите деление клеток: из одной получается две, из двух — четыре, из четырёх — восемь. Это уже не сложение, а умножение. Такие последовательности называются геометрическими прогрессиями.

Дадим строгое определение. Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают буквой ку. Рекуррентная формула выглядит так: бэ энное плюс первое равно бэ энное умножить на ку. Важно: знаменатель не должен равняться нулю, иначе прогрессия быстро выродится.

Посмотрим на примеры. Первый: два, шесть, восемнадцать, пятьдесят четыре... Здесь первый член — два, каждый следующий в три раза больше. Значит, ку равно трём. Второй пример: восемьдесят один, двадцать семь, девять, три, один... Здесь знаменатель равен одной третьей — прогрессия убывающая. Третий пример: пять, минус десять, двадцать, минус сорок... Здесь ку равно минус двум, и члены прыгают с плюса на минус — это знакочередующаяся прогрессия.

Теперь главное — формула, которая позволяет найти любой член, не перебирая все предыдущие. Выведем её. Первый член — это бэ первое. Второй — бэ первое умножить на ку. Третий — бэ первое умножить на ку в квадрате. Четвёртый — бэ первое умножить на ку в кубе. Замечаете закономерность? Показатель степени при ку всегда на единицу меньше номера члена. Значит, для энного члена формула такая: бэ энное равно бэ первое умножить на ку в степени эн минус один.

Проверим на примере. Дана прогрессия три, шесть, двенадцать, двадцать четыре... Нужно найти седьмой член. Первый член — три, знаменатель — два. Подставляем в формулу: три умножить на два в шестой степени. Два в шестой — шестьдесят четыре. Трижды шестьдесят четыре — сто девяносто два. Всё сходится.

У геометрической прогрессии, как и у арифметической, есть своё характеристическое свойство. Звучит оно так: квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов — предыдущего и последующего.

Доказывается это просто. Пусть у нас есть член бэ энное. Предыдущий — это бэ энное, делённое на ку. Последующий — бэ энное, умноженное на ку. Перемножаем их: бэ энное на ку и бэ энное, делённое на ку, сокращаются, остаётся бэ энное в квадрате.

Это свойство можно использовать для проверки. Если для последовательности выполняется такое равенство, значит, это геометрическая прогрессия. А можно и находить пропущенные члены. Например, известны четвёртый член — шесть и шестой — двадцать четыре. Тогда пятый равен корню из их произведения. Шестью двадцать четыре — сто сорок четыре, корень — двенадцать. Но не забываем про знак: если прогрессия знакочередующаяся, может быть и минус двенадцать.

Что важно запомнить. Во-первых, геометрическая прогрессия — это умножение, в отличие от арифметической, где сложение. Во-вторых, формула энного члена: бэ первое умножить на ку в степени эн минус один. В-третьих, характеристическое свойство: квадрат члена равен произведению соседей. Оно помогает решать многие задачи.

Домашнее задание — несколько номеров на отработку этих формул. И помните: геометрическая прогрессия встречается в финансах, биологии, физике — везде, где есть рост или убывание в постоянное число раз. Удачи.