Рассказ учителя. Урок 12. Понятие степени с рациональным показателем

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Мы с вами давно и хорошо умеем работать со степенями, но только с натуральными показателями. Например, два в пятой степени — это двойка, умноженная сама на себя пять раз. Сегодня мы сделаем важный шаг: расширим понятие степени на любые целые и даже дробные показатели.

Начнём с отрицательных степеней. Представьте, что мы делим два в третьей степени на два в пятой. По правилу деления степеней с одинаковыми основаниями мы вычитаем показатели: три минус пять равно минус два. Получается два в минус второй степени. Но что это значит? Мы можем посчитать результат и обычным способом: два в кубе — это восемь, два в пятой — тридцать два, восемь тридцать вторых — это одна четвёртая. Значит, два в минус второй — это одна четвёртая, то есть единица, делённая на два в квадрате.

Так и появляется определение: для любого числа а, не равного нулю, и натурального эн, а в минус энной степени равно единице, делённой на а в энной степени. Например, три в минус второй — это одна девятая, десять в минус третьей — одна тысячная. Запомните: отрицательная степень не делает число отрицательным, она просто переворачивает дробь.

Теперь следующий шаг — степень с дробным показателем. Тут нам понадобятся корни. Что такое, скажем, два в степени одна вторая? Мы хотим, чтобы для дробных показателей сохранялись все свойства степеней. Например, два в степени одна вторая, возведённое в квадрат, должно дать два в степени единица, то есть просто два. Значит, два в степени одна вторая — это такое число, квадрат которого равен двум. А это и есть корень квадратный из двух.

Отсюда общее правило: а в степени эм, делённое на эн, — это корень энной степени из а в степени эм. Важное условие: основание а должно быть строго больше нуля. Почему? Потому что корни чётной степени из отрицательных чисел в действительных числах не существуют.

Посмотрим на примеры. Восемь в степени две третьих — это кубический корень из восьми в квадрате. Корень кубический из восьми — это два, два в квадрате — четыре. Можно и наоборот: сначала возвести в квадрат, потом извлечь корень. Результат тот же.

А как быть с отрицательным дробным показателем? Например, тридцать два в степени минус три пятых. Сначала убираем минус по правилу отрицательной степени: единица, делённая на тридцать два в степени три пятых. Тридцать два в степени одна пятая — это корень пятой степени, то есть два. Два в кубе — восемь. Значит, ответ — одна восьмая.

Все свойства степеней, которые мы знали для натуральных показателей, работают и здесь. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются. Только теперь показатели могут быть дробными, и нужно уметь складывать и вычитать дроби.

Что важно запомнить. Во-первых, отрицательная степень — это обратное число. Во-вторых, дробная степень — это корень. В-третьих, все старые правила действуют и для новых степеней. В-четвёртых, основание должно быть положительным, чтобы избежать проблем с чётными корнями.

Домашнее задание — несколько примеров на перевод из степени в корень и обратно, а также на упрощение выражений с дробными показателями. Это несложно, главное — аккуратно работать с дробями. Удачи.