Рассказ учителя. Урок 13. Степенная функция y = xⁿ (n∈N), её свойства и график

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Мы с вами уже изучали разные функции: линейную, квадратичную, обратную пропорциональность. Сегодня мы познакомимся с целым семейством функций, которые называются степенными. Выглядит она очень просто: игрек равен икс в степени эн, где эн — натуральное число.

Сразу примеры: икс в первой степени — это просто прямая, икс в квадрате — парабола, икс в кубе — кубическая парабола, икс в четвёртой, в пятой и так далее. Все они — степенные функции. Область определения у них одна и та же: любое действительное число. Любое число можно возвести в любую натуральную степень.

А вот дальше начинаются различия, и главное из них — чётность показателя. От этого зависят почти все свойства.

Если показатель чётный, например два, четыре, шесть, то функция чётная. Это значит, что игрек от минус икс равен игреку от икс. График симметричен относительно оси игрек. Область значений — только неотрицательные числа: от нуля до бесконечности. При икс равном нулю игрек равен нулю — это наименьшее значение. Слева от нуля, при отрицательных икс, функция убывает: чем ближе к нулю, тем значения меньше. Справа — возрастает. Ветви графика направлены вверх.

Если показатель нечётный — один, три, пять, семь — функция нечётная. Игрек от минус икс равен минус игреку от икс. График симметричен относительно начала координат. Область значений — все действительные числа: от минус бесконечности до плюс бесконечности. Такая функция всегда возрастает: чем больше икс, тем больше игрек. При отрицательных икс значения тоже отрицательные, при положительных — положительные.

Посмотрим на конкретные графики. Возьмём икс в квадрате и икс в четвёртой. Оба симметричны, оба проходят через ноль и единицу. Но есть разница: при икс, меньших единицы по модулю, икс в четвёртой даёт значения меньше, чем икс в квадрате. Например, половина в квадрате — одна четвёртая, а в четвёртой — одна шестнадцатая. А при икс, больших единицы, наоборот: два в квадрате — четыре, а два в четвёртой — шестнадцать. Чем выше степень, тем быстрее рост и тем сильнее "прижимание" к нулю вблизи начала координат.

Теперь сравним икс в кубе и икс в пятой. Оба нечётные, оба проходят через ноль и единицу. При икс от нуля до единицы икс в пятой меньше, чем икс в кубе. При икс больше единицы — икс в пятой растёт быстрее. При отрицательных икс та же картина, но со знаком минус.

Эти свойства важно понимать не только для построения графиков, но и для решения уравнений и неравенств. Например, уравнение икс в пятой равно тридцати двум имеет одно решение: икс равен двум. А уравнение икс в четвёртой равно шестнадцати — два решения: плюс два и минус два. Потому что чётная степень даёт положительный результат при любом знаке.

При решении неравенств тоже нужно учитывать чётность. Для нечётной степени знак неравенства сохраняется. Для чётной — нужно переходить к модулю.

Что нужно запомнить. Во-первых, степенная функция с натуральным показателем — это икс в степени эн. Во-вторых, главное — чётность показателя: от неё зависит симметрия графика и область значений. В-третьих, при возрастании степени график ведёт себя одинаково качественно, но количественно меняется: вблизи нуля прижимается, вдали от нуля — вытягивается.

Домашнее задание — исследовать несколько функций, построить их графики и решить неравенства. Это поможет закрепить понимание. Удачи.