Текст учебника. Урок 1. Рациональные неравенства. Понятие и равносильность.

Теорема: Неравенство $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ равносильно неравенству $P(x)\cdot Q(x)>0$ при условии $Q(x)\mathrm{\ne }0$.

Доказательство:

1. Пусть $x_0$ — решение неравенства $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$
   Тогда $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}>0$ и $Q(x_0)\mathrm{\ne }0$ (по ОДЗ)

2. Дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:

   • Либо $P(x_0)>0$ и $Q(x_0)>0$

   • Либо $P(x_0)<0$ и $Q(x_0)<0$
     В обоих случаях $P(x_0)\cdot Q(x_0)>0$

3. Обратно, если $P(x_0)\cdot Q(x_0)>0$ и $Q(x_0)\mathrm{\ne }0$, то:

   • Произведение положительно, значит $P(x_0)$ и $Q(x_0)$ имеют одинаковые знаки

   • Следовательно, $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}>0$

4. Таким образом, неравенства равносильны на ОДЗ исходного неравенства.

Аналогичные теоремы:

• $\frac{P(x)}{Q(x)}<0\iff P(x)\cdot Q(x)<0,Q(x)\mathrm{\ne }0$

• $\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0\iff \{\begin{array}{l}P(x)\cdot Q(x)\ge 0\\ Q(x)\mathrm{\ne }0\end{array}$

• $\frac{P(x)}{Q(x)}\le 0\iff \{\begin{array}{l}P(x)\cdot Q(x)\le 0\\ Q(x)\mathrm{\ne }0\end{array}$

Пример 5: Решить неравенство $\frac{x-2}{x+1}>0$
Решение:

1. По теореме: $\frac{x-2}{x+1}>0\iff (x-2)(x+1)>0,x\mathrm{\ne }-1$

2. Решаем $(x-2)(x+1)>0$ методом интервалов:
   Нули: $x=2$, $x=-1$
   Интервалы знакопостоянства: $(-\mathrm{\infty };-1)$ — знак "+", $(-1;2)$ — знак "-", $(2;+\mathrm{\infty })$ — знак "+"

3. Решение неравенства: $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

4. Учитываем ОДЗ: $x\mathrm{\ne }-1$ (уже исключено)

5. Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

Пример 6: Решить неравенство $\frac{x^2-9}{x-1}\le 0$
Решение:

1. По теореме: $\frac{x^2-9}{x-1}\le 0\iff \{\begin{array}{l}(x^2-9)(x-1)\le 0\\ x-1\mathrm{\ne }0\end{array}$

2. Решаем $(x-3)(x+3)(x-1)\le 0$ методом интервалов:
   Нули: $x=-3$, $x=1$, $x=3$
   Определяем знаки:
   $(-\mathrm{\infty };-3)$ — знак "-"
   $(-3;1)$ — знак "+"
   $(1;3)$ — знак "-"
   $(3;+\mathrm{\infty })$ — знак "+"

3. Решение: $x\in (-\mathrm{\infty };-3]\cup [1;3]$

4. Учитываем ОДЗ: $x\mathrm{\ne }1$ (исключаем точку 1)

5. Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-3]\cup (1;3]$