Текст учебника. Урок 3. Системы неравенств с одной переменной.

Пример 10: Система из трёх неравенств с квадратными

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+6\le 0\\ x^2-9>0\\ x+4>0\end{array}$$

Решение:

1. Решаем первое:
   $x^2-5x+6=0$, корни 2 и 3, ветви вверх, ≤ 0 → $[2;3]$

2. Решаем второе:
   $x^2-9>0$
   $(x-3)(x+3)>0$ → $(-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

3. Решаем третье:
   $x+4>0$ → $x>-4$ → $(-4;+\mathrm{\infty })$

4. Находим пересечение трёх множеств:

   • Первое: $[2;3]$

   • Второе: $(-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

   • Третье: $(-4;+\mathrm{\infty })$

   Пересекаем по шагам:
   Пересечение первого и второго: из $[2;3]$ во второе попадает только точка 3? Но второе строгое, 3 не входит, и интервал (3; +∞) пересекается с [2;3] только в пустом множестве. Значит, пересечение первого и второго пусто? Проверим:

   • В первом [2;3], во втором (3;+∞). Их пересечение — пусто, так как 3 не входит во второе.

   • Но есть ещё часть второго (-∞;-3), но она не пересекается с [2;3].

   Значит, пересечение первого и второго — пустое множество. Тогда и пересечение всех трёх — пусто.

5. Ответ: $\mathrm{\varnothing }$ (нет решений)

Пример 11: Система с параметром (для сильных учеников)

При каких значениях $a$ система неравенств имеет ровно три целых решения?

$$\{\begin{array}{l}x\ge a\\ x<5\end{array}$$

Решение:

1. Решение системы: $[a;5)$

2. Целые числа в этом промежутке зависят от $a$.

3. Нужно ровно три целых числа. Какие это могут быть?

   • Если промежуток содержит числа 2, 3, 4 — это три целых числа. Тогда левая граница должна быть $1<a\le 2$ (чтобы 1 не входила, а 2 входила).

   • Проверим: при $a=2$: промежуток $[2;5)$ содержит целые 2, 3, 4 — три числа.

   • При $a=1.5$: промежуток $[1.5;5)$ содержит целые 2, 3, 4 — три числа.

   • При $a=2.1$: промежуток $[2.1;5)$ содержит целые 3, 4 — два числа.

   • При $a=1$: промежуток $[1;5)$ содержит целые 1, 2, 3, 4 — четыре числа.

4. Ответ: $a\in (1;2]$