Текст учебника. Урок 5. Метод алгебраического сложения.

Основная идея

Метод алгебраического сложения позволяет исключить одну из переменных, добившись того, чтобы коэффициенты при этой переменной в двух уравнениях были противоположными числами (для сложения) или одинаковыми (для вычитания).

Пошаговый алгоритм

Шаг 1. Привести оба уравнения к стандартному виду $ax+by=c$ (все члены с переменными в левой части, свободный член — в правой).

Шаг 2. Определить, какую переменную удобнее исключить (ту, у которой легче сделать коэффициенты одинаковыми или противоположными).

Шаг 3. Умножить одно или оба уравнения на подходящие числа (не равные нулю) так, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали:

• Противоположными (например, 3 и -3) — тогда уравнения складывают

• Одинаковыми (например, 5 и 5) — тогда из одного уравнения вычитают другое

Шаг 4. Выполнить сложение или вычитание уравнений почленно. В результате получается уравнение с одной переменной.

Шаг 5. Решить полученное линейное уравнение и найти значение одной переменной.

Шаг 6. Подставить найденное значение в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.

Шаг 7. Записать ответ в виде пары чисел $(x;y)$.

Пример 1: Простейший случай (коэффициенты уже противоположны)

Решить систему методом алгебраического сложения:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 5x-3y=1\end{array}$$

Решение:

1. Коэффициенты при $y$: $+3$ и $-3$ — уже противоположны. Значит, можно сразу складывать уравнения.

2. Складываем почленно:
   $(2x+5x)+(3y-3y)=8+1$
   $7x+0=9$
   $7x=9$
   $x=\frac{9}{7}$

3. Подставляем $x=\frac{9}{7}$ в первое уравнение:
   $2\cdot \frac{9}{7}+3y=8$
   $\frac{18}{7}+3y=8$
   $3y=8-\frac{18}{7}=\frac{56}{7}-\frac{18}{7}=\frac{38}{7}$
   $y=\frac{38}{7}:3=\frac{38}{7}\cdot \frac{1}{3}=\frac{38}{21}$

4. Ответ: $(\frac{9}{7};\frac{38}{21})$

Пример 2: Требуется умножение одного уравнения

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ 5x+3y=19\end{array}$$

Решение:

1. Выберем для исключения переменную $y$. Нужно сделать коэффициенты при $y$ противоположными. Сейчас они $2$ и $3$. Наименьшее общее кратное — 6.

2. Умножим первое уравнение на 3, второе на -2 (чтобы получить $6y$ и $-6y$):

   $$\{\begin{array}{l}9x+6y=36\\ -10x-6y=-38\end{array}$$

3. Складываем уравнения:
   $(9x-10x)+(6y-6y)=36-38$
   $-x=-2$
   $x=2$

4. Подставляем $x=2$ в первое исходное уравнение:
   $3\cdot 2+2y=12$
   $6+2y=12$
   $2y=6$
   $y=3$

5. Ответ: $(2;3)$

Альтернативный подход: Можно было умножить первое на 3, второе на 2 и вычесть уравнения. Результат будет тот же.

Пример 3: Требуется умножение обоих уравнений

Решить систему:

$$\{\begin{array}{l}4x-3y=5\\ 3x+2y=8\end{array}$$

Решение:

1. Исключим переменную $x$. Коэффициенты при $x$: 4 и 3. Наименьшее общее кратное — 12.

2. Умножим первое уравнение на 3, второе на -4 (чтобы получить $12x$ и $-12x$):

   $$\{\begin{array}{l}12x-9y=15\\ -12x-8y=-32\end{array}$$

3. Складываем:
   $(12x-12x)+(-9y-8y)=15-32$
   $-17y=-17$
   $y=1$

4. Подставляем $y=1$ во второе исходное уравнение:
   $3x+2\cdot 1=8$
   $3x+2=8$
   $3x=6$
   $x=2$

5. Ответ: $(2;1)$