Текст учебника. Урок 10. Геометрическая прогрессия: определение, формула n-го член.

2.1. Основное определение

Определение: Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

Обозначение: Обычно геометрическую прогрессию обозначают $b_1,b_2,b_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},b_n,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

Рекуррентная формула:

$$b_{n+1}=b_n\cdot q$$

где:

• $b_n$ — n-й член прогрессии

• $q$ — знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число, $q\mathrm{\ne }0$)

2.2. Почему $q\mathrm{\ne }0$?

Если $q=0$, то начиная со второго члена все члены будут равны 0, что вырождает прогрессию и делает её неинтересной для изучения. Кроме того, многие свойства при $q=0$ теряют смысл (например, характеристическое свойство).

2.3. Примеры геометрических прогрессий

Пример 1 (возрастающая): 2, 6, 18, 54, 162, ...

• $b_1=2$

• $q=3$ (каждый следующий в 3 раза больше предыдущего)

Пример 2 (убывающая): 81, 27, 9, 3, 1, $\frac{1}{3}$, ...

• $b_1=81$

• $q=\frac{1}{3}$ (каждый следующий в 3 раза меньше предыдущего)

Пример 3 (знакочередующаяся): 5, -10, 20, -40, 80, ...

• $b_1=5$

• $q=-2$ (каждый следующий умножается на -2, знак чередуется)

Пример 4 (постоянная): 7, 7, 7, 7, 7, ...

• $b_1=7$

• $q=1$ (частный случай)