Текст учебника. Урок 10. Геометрическая прогрессия: определение, формула n-го член.

3.1. От рекуррентной формулы к аналитической

Используя рекуррентное соотношение $b_{n+1}=b_n\cdot q$, выразим несколько членов через первый и знаменатель:

• $b_1=b_1$

• $b_2=b_1\cdot q$

• $b_3=b_2\cdot q=(b_1\cdot q)\cdot q=b_1\cdot q^2$

• $b_4=b_3\cdot q=(b_1\cdot q^2)\cdot q=b_1\cdot q^3$

• $b_5=b_4\cdot q=(b_1\cdot q^3)\cdot q=b_1\cdot q^4$

Замечаем закономерность: показатель степени при $q$ на 1 меньше номера члена.

3.2. Общая формула

Таким образом, получаем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

где:

• $b_n$ — n-й член прогрессии

• $b_1$ — первый член

• $q$ — знаменатель прогрессии

• $n$ — номер члена (натуральное число)

3.3. Проверка формулы

Для $n=1$: $b_1=b_1\cdot q^0=b_1\cdot 1=b_1$ — верно.
Для $n=2$: $b_2=b_1\cdot q^1=b_1\cdot q$ — соответствует определению.

3.4. Примеры применения

Пример 5: Дана геометрическая прогрессия: 3, 6, 12, 24, ... Найти $b_7$.

Решение:

• $b_1=3$

• $q=6:3=2$

• По формуле: $b_7=3\cdot 2^{7-1}=3\cdot 2^6=3\cdot 64=192$

Ответ: 192

Пример 6: В геометрической прогрессии $b_1=5$, $q=3$. Найти $b_6$.

Решение:
$b_6=5\cdot 3^{6-1}=5\cdot 3^5=5\cdot 243=1215$

Ответ: 1215

Пример 7: Найти знаменатель геометрической прогрессии, если $b_1=2$, $b_5=32$.

Решение:
$32=2\cdot q^{5-1}=2\cdot q^4$
$q^4=16$
$q=\pm 2$ (так как $q^4=16$ имеет два действительных корня: 2 и -2)

Ответ: $q=2$ или $q=-2$

Пример 8: Найти первый член геометрической прогрессии, если $q=\frac{1}{2}$, $b_7=\frac{5}{64}$.

Решение:
$\frac{5}{64}=b_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^6=b_1\cdot \frac{1}{64}$
$b_1=\frac{5}{64}\cdot 64=5$

Ответ: 5