Текст учебника. Урок 10. Геометрическая прогрессия: определение, формула n-го член.

4.1. Формулировка свойства

Как и у арифметической прогрессии, у геометрической есть своё характеристическое свойство, которое полностью определяет этот тип последовательности.

Теорема (характеристическое свойство): Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего).

В математической форме:

$$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\text{для }n\ge 2$$

4.2. Доказательство

Дано: $\{b_n\}$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.
То есть: $b_n=b_{n-1}\cdot q$ и $b_{n+1}=b_n\cdot q$.

Доказать: $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$.

Доказательство:

Рассмотрим произведение двух соседних с $b_n$ членов:

• Предыдущий член: $b_{n-1}$

• Последующий член: $b_{n+1}$

Выразим $b_{n+1}$ через $b_n$ и $q$:
$b_{n+1}=b_n\cdot q$

Выразим $b_{n-1}$ через $b_n$ и $q$:
Из $b_n=b_{n-1}\cdot q$ получаем $b_{n-1}=\frac{b_n}{q}$ (при $q\mathrm{\ne }0$)

Теперь найдём произведение:
$b_{n-1}\cdot b_{n+1}=\frac{b_n}{q}\cdot (b_n\cdot q)=b_n^2$

Таким образом, $b_{n-1}\cdot b_{n+1}=b_n^2$, что и требовалось доказать.

4.3. Обратное утверждение

Как и в случае с арифметической прогрессией, характеристическое свойство является не только следствием, но и признаком геометрической прогрессии: если для всех членов последовательности (начиная со второго) выполняется условие $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$, то эта последовательность — геометрическая прогрессия.