Текст учебника. Урок 10. Геометрическая прогрессия: определение, формула n-го член.

5.1. Нахождение неизвестного члена

Пример 9: В геометрической прогрессии известны члены: $b_4=6$ и $b_6=24$. Найти $b_5$.

Решение:
По характеристическому свойству для $n=5$:
$b_5^2=b_4\cdot b_6=6\cdot 24=144$
$b_5=\pm 12$ (оба значения возможны, если прогрессия знакочередующаяся)

Ответ: $b_5=12$ или $b_5=-12$

Пример 10: В геометрической прогрессии $b_2=4$, $b_4=16$. Найти $b_3$.

Решение:
$b_3^2=b_2\cdot b_4=4\cdot 16=64$
$b_3=\pm 8$

Ответ: $\pm 8$

5.2. Проверка, является ли последовательность геометрической прогрессией

Пример 11: Является ли последовательность 2, 6, 18, 54, 108, ... геометрической прогрессией?

Решение:
Проверим характеристическое свойство для нескольких членов:

• Для $n=2$: $b_2^2=6^2=36$, $b_1\cdot b_3=2\cdot 18=36$ ✓

• Для $n=3$: $b_3^2={18}^2=324$, $b_2\cdot b_4=6\cdot 54=324$ ✓

• Для $n=4$: $b_4^2={54}^2=2916$, $b_3\cdot b_5=18\cdot 108=1944$ ✗ (не равно)

Следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией (нарушение на четвёртом члене).

Пример 12: При каком значении $x$ числа $x,2x+1,5x+2$ образуют геометрическую прогрессию?

Решение:
Для геометрической прогрессии должно выполняться характеристическое свойство для среднего члена:
$(2x+1{)}^2=x\cdot (5x+2)$

Раскрываем скобки:
$4x^2+4x+1=5x^2+2x$
$0=5x^2+2x-4x^2-4x-1$
$0=x^2-2x-1$
$x^2-2x-1=0$

$D=4+4=8$
$x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$

Ответ: $x=1+\sqrt{2}$ или $x=1-\sqrt{2}$