Текст урока. Урок 12. Понятие степени с рациональным показателем.

2.1. Мотивация

Рассмотрим свойство деления степеней: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Оно было доказано для случая $m>n$. Но что, если $m<n$? Например, $\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}$. Чтобы формула работала для всех целых чисел, нужно определить, что такое $a^{-2}$.

2.2. Определение

Определение: Для любого числа $a\mathrm{\ne }0$ и натурального $n$:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Важное условие: $a\mathrm{\ne }0$, так как на ноль делить нельзя.

2.3. Примеры

Пример 1: Вычислить:

• $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

• $(-3{)}^{-2}=\frac{1}{(-3{)}^2}=\frac{1}{9}$

• $5^{-1}=\frac{1}{5}$

• ${10}^{-4}=\frac{1}{{10}^4}=0.0001$

Пример 2: Представить в виде степени с отрицательным показателем:

• $\frac{1}{7}=7^{-1}$

• $\frac{1}{25}=5^{-2}$ (так как $25=5^2$)

• $\frac{1}{81}=3^{-4}$ (так как $81=3^4$)

2.4. Особый случай: степень с нулевым показателем

Ранее мы определили, что $a^0=1$ для любого $a\mathrm{\ne }0$. Это определение также согласуется со свойством деления:
$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1$.

2.5. Пример 3: Упрощение выражений

Упростить: $\frac{a^{-3}\cdot a^5}{a^{-2}}$

Решение:
$\frac{a^{-3}\cdot a^5}{a^{-2}}=a^{-3+5-(-2)}=a^{-3+5+2}=a^4$

Ответ: $a^4$