Текст урока. Урок 12. Понятие степени с рациональным показателем.

4.1. Мотивация

Мы уже умеем возводить числа в целую степень (положительную, нулевую и отрицательную). Но что значит $2^{\frac{1}{2}}$ или $5^{\frac{2}{3}}$? Какой смысл вкладывать в такие выражения?

Мы хотим, чтобы для дробных показателей сохранялись все свойства степеней, в частности свойство $(a^m{)}^n=a^{mn}$.

4.2. Определение степени с рациональным показателем

Определение: Пусть $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$ (целое число), $n\in \mathbb{N}$ (натуральное число, $n\ge 2$). Тогда степень числа $a$ с рациональным показателем $\frac{m}{n}$ определяется как:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Условие: $a>0$ обязательно! Это связано с тем, что корни чётной степени из отрицательных чисел не определены в действительных числах.

4.3. Пояснение

В частности:

• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ (корень n-й степени)

• $a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^2}$ или $(\sqrt[3]{a}{)}^2$

• $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

4.4. Пример 10: Представление в виде корня

Записать в виде корня:

• $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

• $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$

• $7^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{7^3}}=\frac{1}{\sqrt[4]{343}}$

• $2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{2^5}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

4.5. Пример 11: Представление корня в виде степени

Записать в виде степени с рациональным показателем:

• $\sqrt{6}=6^{\frac{1}{2}}$

• $\sqrt[3]{10}={10}^{\frac{1}{3}}$

• $\sqrt[4]{5^3}=5^{\frac{3}{4}}$

• $\frac{1}{\sqrt[5]{8}}=8^{-\frac{1}{5}}$

4.6. Пример 12: Вычисление значений

Вычислить:

• $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$

• $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ (или $(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$)

• ${16}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{16}^3}=\sqrt[4]{4096}=8$ (или $(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=8$)

• ${32}^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{32}^3}}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$