Текст урока. Урок 12. Понятие степени с рациональным показателем.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются все свойства, которые были у степеней с целым показателем (при условии, что основания положительны).

5.1. Основные свойства

Для $a>0$, $b>0$ и любых рациональных $r,s$:

Свойство 1: $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$

Свойство 2: $a^r:a^s=a^{r-s}$

Свойство 3: $(a^r{)}^s=a^{rs}$

Свойство 4: $(ab{)}^r=a^r\cdot b^r$

Свойство 5: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$

5.2. Пример 13: Упрощение выражений

Упростить: $a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{6}}$

Решение:
$a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{6}}=a^{\frac{4}{6}+\frac{1}{6}}=a^{\frac{5}{6}}$

Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$

5.3. Пример 14: Деление степеней

Упростить: $\frac{b^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{2}}}$

Решение:
$b^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}=b^{\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}=b^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $b^{\frac{1}{4}}$

5.4. Пример 15: Возведение степени в степень

Упростить: $(x^{\frac{2}{3}}{)}^{\frac{3}{4}}$

Решение:
$x^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}}=x^{\frac{6}{12}}=x^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

5.5. Пример 16: Степень произведения

Упростить: $(16a^4{)}^{\frac{3}{4}}$

Решение:
$(16{)}^{\frac{3}{4}}\cdot (a^4{)}^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16}{)}^3\cdot a^{4\cdot \frac{3}{4}}=2^3\cdot a^3=8a^3$

Ответ: $8a^3$